A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9
Bilangan asli A terkecil yang mungkin adalah 9.
Pembahasan
[tex]x, y, z \in \mathbb{Z}[/tex] yang memenuhi:
[tex]\begin{cases}6x-5y+22z=4A&(i)\\-3x+2y-34z=10&(ii)\\y < 3x&(iii)\\y < 18z&(iv)\\A\in\mathbb{N}&(v)\end{cases}[/tex]
Kita akan menentukan bilangan asli A terkecil yang mungkin.
Penyelesaian
Kita perhatikan persamaan (i).
[tex]\begin{aligned}4A&=6x-5y+22z\\&=6x-2y-3y+22z\\&\left[\ \begin{aligned}&(iii)\Rightarrow y < 3x\\&\iff-2y > -6x\\&(iv)\Rightarrow y < 18x\\&\iff -3y > -54z\\\end{aligned}\right.\\\Rightarrow 4A\ & > 6x-6x-54z+22z\\\Rightarrow 4A\ & > -32z\\\therefore\ \ A\ & > -8z\quad....(vi)\end{aligned}[/tex]
Kemudian, kita menuju persamaan (ii).
[tex]\begin{aligned}10&=-3x+2y-34z\\&=-3x+y+y-34z\\&\left[\ \begin{aligned}&(iii)\Rightarrow y < 3x\\&(iv)\Rightarrow y < 18x\\\end{aligned}\right.\\\Rightarrow 10\ & < -3x+3x+18z-34z\\\Rightarrow 10\ & < -16z\\\therefore\ \ 5\ & < -8z\quad....(vii)\end{aligned}[/tex]
Dari pertidaksamaan (vi) dan (vii), kita peroleh hubungan:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\ 5\ < \ -8z\ < \ A\ }\quad....(viii)\end{aligned}$}[/tex]
A adalah yang terbesar dari ketiga ruas pertidaksamaan. Oleh karena itu, agar mendapatkan nilai A terkecil, maka kita harus meminimumkan nilai [tex]-8z[/tex].
Dari (vii):
[tex]\begin{aligned}5\ & < \ -8z\quad\Rightarrow\ z\ < \ -\frac{5}{8}\end{aligned}[/tex]
Karena [tex]z \in \mathbb{Z}[/tex], nilai minimum dari [tex]-8z[/tex] diperoleh pada saat [tex]z[/tex] adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari [tex]-\dfrac{5}{8}[/tex].
Oleh karena itu:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\ z = \bf{-}1\ }\end{aligned}$}[/tex]
Sehingga, pertidaksamaan (viii) menjadi:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}&\begin{array}{cccccccc}&5& < &-8(-1)& < &A\\\Rightarrow&5& < &8& < &A\\\Rightarrow&A& > &8\end{array}\\&\therefore\ \boxed{\ \bf A=9\ }\end{aligned}$}[/tex]
KESIMPULAN
∴ Bilangan asli A terkecil yang mungkin adalah 9.
[answer.2.content]
